№№ заданий Пояснения Ответы Ключ Добавить инструкцию Критерии
Источник Классификатор базовой части Классификатор планиметрии Классификатор стереометрии Методы алгебры Методы геометрии Раздел Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ Справка
PDF-версия PDF-версия (вертикальная) PDF-версия (крупный шрифт) PDF-версия (с большим полем) Версия для копирования в MS Word
Задания
Задание 14 № 518959

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC боковое ребро равно 6, а сторона основания равна 4. На продолжении ребра SA за точку A отмечена точка P, а на продолжении ребра SB за точку B — точка Q, причём AP = BQ = SA.

а) Докажите, что прямые PQ и SC перпендикулярны друг другу.

б) Найдите угол между плоскостями ABC и CPQ.

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть M — середина ребра AB, N — середина отрезка PQ. В равнобедренных треугольниках ASB и PSQ медианы SM и SN являются биссектрисами и высотами. Следовательно, точки S, M и N лежат на одной прямой. Треугольник PCQ равнобедренный, так как треугольники PAC и QBC равны, а значит, PC = CQ. В треугольниках ABC и PCQ высотами служат отрезки CM и CN соответственно. Из того, что отрезок PQ перпендикулярен отрезку SN и отрезку CN следует, что прямая PQ перпендикулярна плоскости SNC, но перпендикуляр к плоскости перпендикулярен любой прямой, лежащей в ней, следовательно, прямые PQ и SC перпендикулярны.

б) Из решения предыдущего пункта видно, что плоскость NSC перпендикулярна плоскостям ABC и PCQ, а потому \angle MCN=\alpha искомый.

Найдём стороны треугольника MCN.

Ясно, что MN=SM= корень из { SA в степени 2 минус AM в степени 2 }=4 корень из { 2} и CM=AM умножить на корень из { 3}=2 корень из { 3}.

В треугольнике SBC имеем:

 

 косинус \angle CSB= дробь, числитель — SB в степени 2 плюс SC в степени 2 минус CB в степени 2 , знаменатель — 2 умножить на SB умножить на SC = дробь, числитель — 7, знаменатель — 9 .

Из треугольника SCQ по теореме косинусов находим

 

CQ в степени 2 =CS в степени 2 плюс SQ в степени 2 минус 2 умножить на CS умножить на SQ умножить на косинус \angle CSB=68

Следовательно, CN= корень из { CQ в степени 2 минус NQ в степени 2 }= корень из { 68 минус 16}=2 корень из { 13}.

Из треугольника MCN по теореме косинусов находим  косинус \alpha= дробь, числитель — 12 плюс 52 минус 32, знаменатель — 2 умножить на 2 корень из { 3 умножить на 2 корень из { 13}}= дробь, числитель — 4, знаменатель — корень из { 39 }.

Ответ: \arccos дробь, числитель — 4, знаменатель — корень из { 39 }.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б)2
Выполнен только один из пунктов а) или б)1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл2

 

*Критерии распространяются и на случай использования координатного метода