№№ заданий Пояснения Ответы Ключ Добавить инструкцию Критерии
Источник Классификатор базовой части Классификатор планиметрии Классификатор стереометрии Методы алгебры Методы геометрии Раздел Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ Справка
PDF-версия PDF-версия (вертикальная) PDF-версия (крупный шрифт) PDF-версия (с большим полем) Версия для копирования в MS Word
Задания
Задание 16 № 518116

В прямоугольную трапецию ABCD с прямым углом при вершине A и острым углом при вершине D вписана окружность с центром O. Прямая DO пересекает сторону AB в точке M, а прямая CO пересекает сторону AD в точке K.

а) Докажите, что \angle AMO = \angle DKO.

б) Найдите площадь треугольника AOM, если BC=10 и AD=15.

Спрятать решение

Решение.

а) Лучи CO и DO являются биссектрисами углов BCD и ADC соответственно, поэтому

\angle{DCO} плюс \angle{CDO}= дробь, числитель — \angle{BCD} плюс \angle{ADC}, знаменатель — 2 =90 в степени circ,

то есть прямые CO и DO перпендикулярны.

Получаем

\angle{AMO}=90 в степени circ минус \angle{ADM}=90 в степени circ минус \angle{KDO}=\angle{DKO}.

б) Лучи AO и BO являются биссектрисами прямым углов BAD и ABC соответственно, поэтому треугольник AOB равнобедренный прямоугольный. Значит, \angle{MAO}=\angle{CBO}=45 в степени circ, AO=BO. Поскольку прямые CO и DO перпендикулярны, получаем:

\angle{BOC}=90 в степени circ минус \angle{BOM}=\angle{AOM}.

Следовательно, треугольники AOM и BOC равны и нужно найти площадь одного из них.

Пусть окружность касается сторон AB, BC, CD и AD в точках E, F, G и H соответственно, а её радиус равен r. Тогда

AH=AE=BE=BF=r; CF=CG=10 минус r; DH=DG=15 минус r.

В прямоугольном треугольнике COD имеем:

OG в степени 2 =CG умножить на DG; r в степени 2 =(10 минус r)(15 минус r),

откуда r=6. Значит, S_{AOM}=S_{BOC}= дробь, числитель — BC умножить на OF, знаменатель — 2 =30.

 

Ответ: б) 30.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3