PDF-версии: 
Основанием прямой четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 является ромб ABCD, AB = AA1.
а) Докажите, что прямые A1C и BD перпендикулярны.
б) Найдите объем призмы, если A1C = BD = 2.
Решение. а) Поскольку ABCDA1B1C1D1 — прямая призма, прямая AA1 перпендикулярна плоскости ABC, то есть AC — проекция A1C на плоскость ABC. ABCD — ромб, поэтому прямые AC и BD перпендикулярны. Тогда по теореме о трех перпендикулярах прямая A1C перпендикулярна прямой BD.
б) Пусть AB = AA1 = a, AC ∩ DB = O. По теореме Пифагора в треугольнике A1AC имеем:
По теореме Пифагора в треугольнике DOC имеем:
Найдем a:
Тогда AC равно: 
Отсюда объём призмы равен:
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |