РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр (например, из числа 1923 получается число 110911253).

а)  Приведите пример числа, из которого получается 2108124117.

б)  Может ли из какого-⁠нибудь числа получиться число 37494128?

в)  Какое наибольшее число, кратное 11, может получиться из трехзначного числа?

Решение. а)  Например, из числа 2847 получается 2108124117.

б)  Заметим, что если в изначальном числе была цифра 9 (не в последнем разряде), то в получившемся числе справа от нее должна стоять цифра 1 или 9. Значит, цифра 9 в числе 37494128 могла получиться только в результате сложения соседних цифр. Но сумма 4 + 4 не равна 9, поэтому такое число не могло получиться.

в)  Пусть изначальное трехзначное число равно 100a + 10b + c, где a, b и c  — цифры. Получившееся число будет семизначным, только если $a плюс b\geqslant10$ и $b плюс c\geqslant10,$ а во всех остальных случаях полученное число будет меньше 1 000 000.

Если $a плюс b\geqslant10иb плюс c\geqslant10,$ то полученное число будет равно

$a умножить на 10 в степени 6 плюс 1 умножить на 10 в степени 5 плюс левая круглая скобка a плюс b минус 10 правая круглая скобка умножить на 10 в степени 4 плюс$
$плюс b умножить на 10 в кубе плюс 1 умножить на 10 в квадрате плюс левая круглая скобка b плюс c минус 10 правая круглая скобка умножить на 10 плюс c.$ $a умножить на 10 в степени 6 плюс 1 умножить на 10 в степени 5 плюс левая круглая скобка a плюс b минус 10 правая круглая скобка умножить на 10 в степени 4 плюс$
$плюс b умножить на 10 в кубе плюс 1 умножить на 10 в квадрате плюс$
$плюс левая круглая скобка b плюс c минус 10 правая круглая скобка умножить на 10 плюс c.$ $a умножить на 10 в степени 6 плюс 1 умножить на 10 в степени 5 плюс$
$плюс левая круглая скобка a плюс b минус 10 правая круглая скобка умножить на 10 в степени 4 плюс b умножить на 10 в кубе плюс$
$плюс 1 умножить на 10 в квадрате плюс левая круглая скобка b плюс c минус 10 правая круглая скобка умножить на 10 плюс c.$ $a умножить на 10 в степени 6 плюс 1 умножить на 10 в степени 5 плюс$
$плюс левая круглая скобка a плюс b минус 10 правая круглая скобка умножить на 10 в степени 4 плюс$
$плюс b умножить на 10 в кубе плюс 1 умножить на 10 в квадрате плюс$
$плюс левая круглая скобка b плюс c минус 10 правая круглая скобка умножить на 10 плюс c.$

Знакочередующая сумма цифр полученного числа равна

a – 1 + (a + b – 10) – b + 1 – (b + c – 10) + c = 2a – b.

При a  =  9 получившееся число будет больше, чем при любом другом a, вне зависимости от b и c. В этом случае 2a – b делится на 11 только при b  =  7 и любом c. При a  =  9 и b  =  7 максимальное число получится для c  =  9.

Таким образом, максимальное число получается из числа 979 и равно 9 167 169.

Ответ: а)  2847; б)  нет; в)  9 167 169.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а, б и в.	4
Приведем верный пример в пункте а и обоснованно получен верный ответ в пункте в. ИЛИ Обоснованно получены верные ответы в пунктах б и в.	3
Приведен верный пример в пункте а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. ИЛИ Обснованно получен верный ответ в пункте в.	2
Приведен верный пример в пункте а или обоснованно получен верный ответ в пункте б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	517744	а)  2847; б)  нет; в)  9 167 169.

Ключ