Ре­ше­ние. а)  На­при­мер, из числа 2847 по­лу­ча­ет­ся 2108124117.

б)  За­ме­тим, что если в из­на­чаль­ном числе была цифра 9 (не в по­след­нем раз­ря­де), то в по­лу­чив­шем­ся числе спра­ва от нее долж­на сто­ять цифра 1 или 9. Зна­чит, цифра 9 в числе 37494128 могла по­лу­чить­ся толь­ко в ре­зуль­та­те сло­же­ния со­сед­них цифр. Но сумма 4 + 4 не равна 9, по­это­му такое число не могло по­лу­чить­ся.

в)  Пусть из­на­чаль­ное трех­знач­ное число равно 100a + 10b + c, где a, b и c  — цифры. По­лу­чив­ше­е­ся число будет се­ми­знач­ным, толь­ко если и а во всех осталь­ных слу­ча­ях по­лу­чен­ное число будет мень­ше 1 000 000.

Если то по­лу­чен­ное число будет равно

Зна­ко­че­ре­ду­ю­щая сумма цифр по­лу­чен­но­го числа равна

При a  =  9 по­лу­чив­ше­е­ся число будет боль­ше, чем при любом дру­гом a, вне за­ви­си­мо­сти от b и c. В этом слу­чае 2a – b де­лит­ся на 11 толь­ко при b  =  7 и любом c. При a  =  9 и b  =  7 мак­си­маль­ное число по­лу­чит­ся для c  =  9.

Таким об­ра­зом, мак­си­маль­ное число по­лу­ча­ет­ся из числа 979 и равно 9 167 169.

Ответ: а)  2847; б)  нет; в)  9 167 169.