PDF-версии: 
Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 6. Точки K, L и M — центры граней ABCD, AA1D1D и CC1D1D соответственно.
а) Докажите, что B1KLM — правильная пирамида.
б) Найдите объём B1KLM.
Решение. а) Рассмотрим правильный тетраэдр B1AD1C. В нём B1K = B1L = B1M — апофемы боковых граней — равных равносторонних треугольников. Следовательно, боковые ребра пирамиды B1KLM равны. Кроме того, в основании этой пирамиды лежит равносторонний треугольник KLM. Следовательно, пирамида правильная. Что и требовалось доказать.
б) Заметим, что
поскольку 
высота общая.
Куб ABCDA1B1C1D1 состоит из пирамид B1AD1C, AA1B1D1, CB1C1D1, B1ABC и D1ACD.
Объём куба равен 216. Тогда
Ответ: б) 18.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |