PDF-версии: 
Точка M — середина гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC. Серединный перпендикуляр к гипотенузе пересекает катет BC в точке N.
а) Докажите, что ∠CAN = ∠CMN.
б) Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников ANB и CBM, если 
Решение. а) Заметим, что
тогда вокруг ACNM можно описать окружность, тогда 
как угол, опирающийся на одну дугу, что и требовалось доказать.
б) Углы MAN и MCB равны как опирающиеся на одну дугу MN. Тогда треугольники ANB и CBM подобны по двум углам. Коэффициент подобия равен отношению сторон AB и BC, то есть 5 : 4. Тогда и радиусы относятся так же.
Ответ: 5 : 4.
Приведем другое решение пункта б).
б) Пусть 
тогда 
поэтому получаем:
По теореме синусов
откуда
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |