PDF-версии: 
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания 
а боковое ребро AA1 = 8.
а) Докажите, что плоскость BCA1 перпендикулярна плоскости, проходящей через ребро AA1 и середину ребра B1C1.
б) Найдите тангенс угла между плоскостями BCA1 и BB1C1.
Решение. а) Обозначим за 
середину ребра 
Очевидно, 
(так как 
) Значит, 
Итак, плоскость 
содержит прямую, перпендикулярную к плоскости 
поэтому плоскости перпендикулярны.
б) Обозначим за M середину BC. Поскольку плоскости пересекаются по прямой BC, нас интересует угол между перпендикулярами к BC, проведенными в этих плоскостях. Очевидно 
(так как 
) и 
по теореме о трех перпендикулярах (проекция 
на ABC это 
) Поэтому
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |