PDF-версии: 
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 4. Точка L — середина ребра SC. Тангенс угла между прямыми BL и SA равен 
а) Пусть O — центр основания пирамиды. Докажите, что прямые BO и LO перпендикулярны.
б) Найдите площадь поверхности пирамиды.
Решение. а) Очевидно, проекция L на плоскость ABCD лежит на AC, поэтому проекция OL на плоскость основания пирамиды совпадает со второй диагональю (AC) и перпендикулярна OB, тогда по теореме о трех перпендикулярах и 
б) Введем координаты с началом в точке A и осями, направленными по ребрам AD, AB и параллельно высоте SO (обозначим ее длину за 
). Тогда координаты точек будут 
и 
Найдем угол между ними по формуле
По условию, этот же косинус равен 
с точностью до знака.
Решаем уравнение
Итак, высота пирамиды равна 
поэтому апофема равна 
и площадь поверхности равна 
Ответ: 80.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| В результате использования верных утверждений и формул получен верный ответ. Обоснование не содержит неверных утверждений. | 2 |
| В результате использования верных утверждений и формул задача доведена до ответа, но получен неверный ответ в результате допущенной вычислительной ошибки или описки. Обоснование не содержит неверных утверждений* Все промежуточные вычисления и полученный ответ верны, но обоснование отсутствует или содержит неверные утверждения. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
*Критерии распространяются и на случай использования координатного метода