ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д19 C7 № 515214 Добавить в вариант

А)  Может ли разность квадратов двух натуральных чисел равняться кубу натурального числа?

Б)  Может ли разность кубов двух натуральных чисел равняться квадрату натурального числа?

В)  Найдите все простые числа, каждое из которых равно разности кубов двух простых чисел.

Спрятать решение

Решение.

а)  Да, например $3 в квадрате минус 1 в квадрате =2 в кубе .$

б)  Да, например $14 в кубе минус 7 в кубе =49 в квадрате$ (взяли равенство $2 в кубе минус 1 в кубе =7$ и домножили его на $7 в кубе$ ).

в)  Допустим $p=x в кубе минус y в кубе .$ Тогда $p: левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка =x в квадрате плюс xy плюс y в квадрате больше 1,$ следовательно, $x минус y=1.$ Значит, одно из простых чисел $x$ и $y$ четно. Тогда это числа $2$ и $3.$ И действительно $3 в кубе минус 2 в кубе =19$   — простое число.

Ответ: а) да; б) да; в) 19.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов:   — пример в п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);   — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 171

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь