Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C6 № 515213

Найдите все а, при каждом из которых уравнение

4 синус в степени 2 x минус 4a синус x плюс a в степени 3 минус a в степени 2 =0

 

имеет ровно один корень на промежутке  левая квадратная скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 ; 2 Пи правая квадратная скобка .

Решение.

Если уравнение  4t в степени 2 минус 4at плюс a в степени 3 минус a в степени 2 имеет корень на интервале  [ минус 1;1), то уравнение  синус x=t (этот корень) будет иметь на данном промежутке минимум два корня. Если оно имеет корень, по модулю больший <1, по нему не подберется ни одного корня  x. Поэтому единственный шанс - если оно имеет корень t=1 x= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 — единственная подходящая точка), а второй корень либо по модулю больше 1 либо тоже равен 1. Подставим  t=1:

 4 минус 4a плюс a в степени 3 минус a в степени 2 =0 равносильно (a минус 1)(a в степени 2 минус 4)=0 совокупность выражений a=1,a=2, a= минус 2. конец совокупности .

При  a=1 уравнение примет вид  4t в степени 2 минус 4t=0 и будет иметь еще корень 0. Не подходит.

При  a=2 уравнение примет вид  4t в степени 2 минус 8t плюс 4=0 и будет иметь только корень 1. Подходит.

При  a= минус 2 уравнение примет вид  4t в степени 2 плюс 8t минус 12=0 и будет иметь еще корень -3. Подходит.

 

Ответ:  \{ минус 2, 2\}.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 171.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Неравенства с параметром