ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д17 C6 № 515213 Добавить в вариант

Найдите все а, при каждом из которых уравнение

$4 синус в квадрате x минус 4a синус x плюс a в кубе минус a в квадрате =0$

имеет ровно один корень на промежутке $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 2 Пи правая квадратная скобка .$

Спрятать решение

Решение.

Если уравнение $4t в квадрате минус 4at плюс a в кубе минус a в квадрате$ имеет корень на интервале $левая квадратная скобка минус 1;1 правая круглая скобка ,$ то уравнение $синус x=t$ (этот корень) будет иметь на данном промежутке минимум два корня. Если оно имеет корень, по модулю больший <1, по нему не подберется ни одного корня $x.$ Поэтому единственный шанс - если оно имеет корень $t=1$ (и $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби$   — единственная подходящая точка), а второй корень либо по модулю больше 1 либо тоже равен 1. Подставим $t=1$ :

$4 минус 4a плюс a в кубе минус a в квадрате =0 равносильно левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка a в квадрате минус 4 правая круглая скобка =0 совокупность выражений a=1,a=2, a= минус 2. конец совокупности .$

При $a=1$ уравнение примет вид $4t в квадрате минус 4t=0$ и будет иметь еще корень 0. Не подходит.

При $a=2$ уравнение примет вид $4t в квадрате минус 8t плюс 4=0$ и будет иметь только корень 1. Подходит.

При $a= минус 2$ уравнение примет вид $4t в квадрате плюс 8t минус 12=0$ и будет иметь еще корень -3. Подходит.

Ответ: $левая фигурная скобка минус 2, 2 правая фигурная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	2
Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 171

Классификатор алгебры: Неравенства с параметром

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь