РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д17 C6 № 515125 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 167

Классификатор алгебры: Неравенства с параметром

Сложные задачи с параметром. Неравенства с параметром

Найдите все а, при каждом из которых уравнение ax² + x + a − 1  =  0 имеет два различных действительных корня x₁ и x₂, удовлетворяющих неравенству $\left| дробь: числитель: 1, знаменатель: x_1 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: x_2 конец дроби | больше 1.$

Решение. Сразу заметим, что $a не равно 0$ и $D=1 минус 4a левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка = минус 4a в квадрате плюс 4a плюс 1 больше 0,$ откуда $a принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: 1 минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$ Кроме того, $a не равно 1,$ поскольку при $a=1$ один из корней равен нулю. Преобразуем неравенство

$\absx_1 минус x_2 больше \absx_1x_2 равносильно левая круглая скобка x_1 минус x_2 правая круглая скобка в квадрате больше x_1 в квадрате x_2 в квадрате равносильно левая круглая скобка x_1 плюс x_2 правая круглая скобка в квадрате минус 4x_1x_2 минус левая круглая скобка x_1x_2 правая круглая скобка в квадрате больше 0.$ $\absx_1 минус x_2 больше \absx_1x_2 равносильно левая круглая скобка x_1 минус x_2 правая круглая скобка в квадрате больше x_1 в квадрате x_2 в квадрате равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x_1 плюс x_2 правая круглая скобка в квадрате минус 4x_1x_2 минус левая круглая скобка x_1x_2 правая круглая скобка в квадрате больше 0.$

Применим теорему Виета: $дробь: числитель: 1, знаменатель: a в квадрате конец дроби минус дробь: числитель: 4 левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: a конец дроби минус дробь: числитель: левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: a в квадрате конец дроби больше 0.$ Домножим на $a в квадрате ,$ оно положительно:

$1 минус 4 левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка a минус левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в квадрате больше 0 равносильно минус 5a в квадрате плюс 6a больше 0 равносильно a левая круглая скобка 6 минус 5a правая круглая скобка больше 0\Rightarrow a принадлежит левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 6, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка .$ $1 минус 4 левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка a минус левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в квадрате больше 0 равносильно минус 5a в квадрате плюс 6a больше 0 равносильно$
$равносильно a левая круглая скобка 6 минус 5a правая круглая скобка больше 0\Rightarrow a принадлежит левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 6, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка .$

Учитывая имеющиеся ограничения и то, что $дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби больше дробь: числитель: 1 плюс 1,4, знаменатель: 2 конец дроби =1,2,$ получим ответ $0 меньше a меньше 1, 1 меньше a меньше 1,2.$

Ответ: $a принадлежит левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;1,2 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	2
Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

515125

$a принадлежит левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;1,2 правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 167

Классификатор алгебры: Неравенства с параметром

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	515125	$a принадлежит левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;1,2 правая круглая скобка .$