РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д17 C6 № 515117 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 166

Классификатор алгебры: Неравенства с параметром

Сложные задачи с параметром. Неравенства с параметром

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений

$система выражений косинус левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка минус косинус y= левая круглая скобка a в квадрате плюс 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка y минус косинус x правая круглая скобка ,2y в квадрате минус левая круглая скобка 3a минус 8 правая круглая скобка умножить на косинус x плюс a в квадрате минус 4a=0 конец системы$

не имеет решений.

Решение. Докажем сначала вспомогательный факт: $\abs косинус альфа минус косинус бета меньше \abs альфа минус бета$ при $альфа не равно бета .$ В самом деле,

$\abs косинус альфа минус косинус бета =2\abs синус дробь: числитель: альфа плюс бета , знаменатель: 2 конец дроби \abs синус дробь: числитель: альфа минус бета , знаменатель: 2 конец дроби меньше 2\abs синус дробь: числитель: альфа плюс бета , знаменатель: 2 конец дроби умножить на \abs дробь: числитель: альфа минус бета , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно \abs альфа минус бета ,$

поскольку синус не превосходит единицы (в первом неравенстве мы использовали $\abs синус x меньше \absx$ при $x не равно 0$ ). Тогда первое уравнение может выполняться только если $y= косинус x$ (поскольку $a в квадрате плюс 1 больше или равно 1$ ). Тогда второе превращается в

$2y в квадрате минус левая круглая скобка 3a минус 8 правая круглая скобка y плюс a в квадрате минус 4a=0.$

Его корни $y=a минус 4$ и $y= дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби .$ Чтобы не было решений, нужно, чтобы эти числа не могли быть значениями косинуса. Отсюда $a меньше минус 2, 2 меньше a меньше 3, a больше 5.$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; 3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 5; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	2
Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

515117

$левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; 3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 5; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 166

Классификатор алгебры: Неравенства с параметром

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	515117	$левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; 3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 5; плюс бесконечность правая круглая скобка .$