Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д17 C6 № 515110

Найдите  все а,  при  каждом  из  которых  уравнение x в степени 4 минус x в квадрате плюс дробь: числитель: |ax|, знаменатель: 3 корень из 3 конец дроби плюс a в кубе минус a в квадрате минус 2a=0 имеет ровно три корня. Для каждого а укажите корни.

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что если число x является корнем данного уравнения, то число  минус x  — тоже. Значит, корни разбиваются на пары противоположных и их четное число, за исключением случаев, когда один из корней это x=0. Подставим его. Получим a в кубе минус a в квадрате минус 2a=0, то есть a левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка =0. Разберем теперь случаи.

1.  При a=0 уравнение превращается в x в степени 4 минус x в квадрате =0, оно имеет корни x=0, x=1, x= минус 1.

2.  При a= минус 1 уравнение превращается в x в степени 4 минус x в квадрате плюс дробь: числитель: \absx, знаменатель: 3 корень из 3 конец дроби . Будем искать положительные корни. Избавляясь от модуля и деля на x, имеем x в кубе минус x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 корень из 3 конец дроби =0. Поскольку при подстановке x=0 или x=1 получаются положительные значения, а при подстановке x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби   — отрицательное, данное уравнение имеет минимум два положительных корня, а общее число корней не меньше пяти. Этот случай не подходит.

3.  При a=2 уравнение превращается в x в степени 4 минус x в квадрате плюс дробь: числитель: 2\absx, знаменатель: 3 корень из 3 конец дроби . Будем искать положительные корни. Избавляясь от модуля и деля на x, имеем x в кубе минус x плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 корень из 3 конец дроби =0. Домножим на знаменатель и обозначим t= корень из 3x. Получим t в кубе минус 3t плюс 2=0, откуда  левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка =0, что дает t=1 (мы изучаем только положительные корни). Следовательно, x= дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 3 конец дроби . Как раз один положительный корень, общее число корней  — три.

Ответ: для a=0 корни 0, −1, 1; для a=2 корни 0,  минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 3 конец дроби ,  дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.2
Решение содержит:

− или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи;

− или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 165.
Классификатор алгебры: Неравенства с параметром