PDF-версии: 
Найдите все а, при каждом из которых уравнение 
имеет ровно три корня. Для каждого а укажите корни.
Решение. Заметим, что если число x является корнем данного уравнения, то число 
— тоже. Значит, корни разбиваются на пары противоположных и их четное число, за исключением случаев, когда один из корней это 
Подставим его. Получим 
то есть 
Разберем теперь случаи.
1. При 
уравнение превращается в 
оно имеет корни 
2. При 
уравнение превращается в 
Будем искать положительные корни. Избавляясь от модуля и деля на x, имеем 
Поскольку при подстановке 
или 
получаются положительные значения, а при подстановке 
— отрицательное, данное уравнение имеет минимум два положительных корня, а общее число корней не меньше пяти. Этот случай не подходит.
3. При 
уравнение превращается в 
Будем искать положительные корни. Избавляясь от модуля и деля на x, имеем 
Домножим на знаменатель и обозначим 
Получим 
откуда 
что дает 
(мы изучаем только положительные корни). Следовательно, 
Как раз один положительный корень, общее число корней — три.
Ответ: для корни 0, −1, 1; для корни 0, 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 3 |
| Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 2 |
| Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
корни 0, −1, 1; для корни 0, корни 0, −1, 1; для корни 0,