PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно одно решение.
Решение. Сделаем замену переменных:
Ясно, что количество решений от этого не изменится — по каждой паре x и y однозначно строится пара u и 
и наоборот. Уравнения примут вид 
(если 
то и 
а такая точка не подходит в первое уравнение). Первое уравнение задаёт окружность с центром 
и радиусом 
Неравенство задаёт нижнюю полуплоскость относительно прямой 
которая пересекает окружность в точках 
и 
(можно проверить подстановкой). Наконец, последнее уравнение задаёт прямую, проходящую через начало координат (см. рис.).
Выясним, при каком a эта прямая касается окружности. Для этого расстояние от точки 
до этой прямой должно быть равно 2. То есть 
Отсюда:
При 
прямая не пересекает окружность. При 
есть одна общая точка. При 
есть две общие точки. При 
есть одна общая точка (вторая выколота). При 
есть одна общая точка (вторая не в той полуплоскости). При 
общих точек нет.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 3 |
| Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 2 |
| Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |