PDF-версии: 
Решите в целых числах уравнение:
а) 
б) 
в) 
Решение. а) Ясно, что 
Перебирая возможные x и y, находим 4 ответа: 
б) Рассмотрим остатки от деления чисел и их квадратов на 7. Квадрат числа при делении на 7 дает остатки 0, 1, 2, 4. Поэтому 
дает остатки 0, 2, 4, 1. А 
при делении на 7 дает остатки 0, 5, 3, 6. Значит, их разность кратна 7 только тогда, когда они оба кратны 7. Но тогда 
кратно 49. Поэтому уравнение не имеет решений.
в) Перепишем уравнение в виде 
Отсюда видно, что либо 
либо y — четное число. Следовательно, 
Ответ: а) 
б) нет решений; в) 
при всех целых 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: — пример в п. а; — обоснованное решение п. б; — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1); — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
б) нет решений; в) при всех целых б) нет решений; в) при всех целых