PDF-версии: 
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB = AA1 = 6, BC = 4. Точка P — середина ребра AB, точка M лежит на ребре DD1 так, что DM : D1D = 2 : 3.
а) Докажите, что прямая ВD1 параллельна плоскости MPC.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью MPC.
Решение. Введем координаты с началом в точке A и осями, направленными вдоль ребер AB, AD, 
Тогда нетрудно найти координаты точек 
а) Составим уравнение плоскости 
Пусть это 
тогда, подставляя все три точки, находим: 
Возьмем 
Тогда 
и уравнение плоскости 
Ее вектор нормали 
а координаты вектора 
это 
Поэтому их скалярное произведение равно 
они перпендикулярны, и прямая параллельна плоскости.
б) Пусть 
— точка пересечения плоскости с ребром Подставляя в уравнение плоскости, получаем: 
Сечение — четырехугольник 
Его проекция на плоскость ABCD — четырехугольник PADC, площадь которого равна 
Косинус угла между плоскостью сечения и плоскостью основания равен:
Значит, 
по теореме о площади проекции фигуры.
Ответ: б) 
Комментарий. Очевидно, KMCP — трапеция (прямая MC параллельна прямой KP как прямые пересечения плоскости с параллельными плоскостями), все стороны которой можно вычислить, а зная стороны трапеции можно найти ее площадь. Но поскольку вся подготовительная работа уже проделана в пункте а) — глупо было бы им не пользоваться. Найти точку K стоило — без нее мы не были уверены в форме сечения.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 2 |
| Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |