PDF-версии: 
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и BP.
а) Докажите, что углы АКР и ABP равны.
б) Найдите длину отрезка PK, если известно, что AB = 5, BC = 6, CA = 4.
Решение. \sqrt{x}а) Заметим, что точки K и P лежат на окружности с диаметром AB (поскольку 
Поэтому четырехугольник APKB вписанный и 
поскольку они опираются на одну дугу.
б) Из вписанности получаем 
поэтому треугольники CPK и CBA подобны по двум углам, так как угол C общий. Вычислим коэффициент подобия.
По теореме косинусов, в треугольнике ABC имеем: 
поэтому 
Следовательно, 
по определению косинуса из треугольника AKC. Это и есть коэффициент подобия. Окончательно: 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |