На доске написаны числа 2 и 3. За один ход два числа a и b, записанные на доске, заменяются на два числа: или a + b и 2a − 1, или a + b и 2b − 1 (например, из чисел 2 и 3 можно получить либо 3 и 5, либо 5 и 5).
а) Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из двух чисел, написанных на доске, окажется числом 13.
б) Может ли после 200 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, оказаться числом 400?
в) Сделали 513 ходов, причём на доске никогда не было написано одновременно двух равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел?
а) Число 13 могло получится в результате следующей последовательности ходов:
б) После первого хода на доске будет записано либо 3 и 5, либо 5 и 5. Заметим, что после каждого последующего хода каждое из двух чисел увеличивается хотя бы на 2. Значит, после 200 ходов меньшее из двух чисел будет не меньше 3 + 199 · 2 = 401. Значит, после 200 ходов на доске не может оказаться число 400.
в) Пусть в какой-то момент на доске была написана пара чисел a и b, причём b > a. Тогда после хода на доске будет написано либо 2a − 1 и a + b, либо a + b и 2b − 1. В первом из этих случаев разность чисел равна b − a + 1, а во втором b − a − 1. То есть после каждого хода разность большего и меньшего числа изменяется на 1, причём для любых двух различных чисел можно сделать ход так, чтобы разность увеличилась, и так, чтобы разность уменьшилась.
Изначально разность большего и меньшего чисел была равна 1, а после каждого хода её чётность меняется. Значит, после 513 ходов разность должна быть чётной. Поэтому наименьшая возможная разность — это 2.
Например, если сначала сделать 257 ходов, увеличивающих разность, а затем 256 ходов, уменьшающих разность, то получится два числа, разность которых равна 2.
Ответ: а) например, (2, 3); (3, 5); (5, 8); (9, 13); б) нет; в) 2.