В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона AB основания равна 12, а высота призмы равна 2. На рёбрах B1C1 и AB отмечены точки P и Q соответственно, причём PC1 = 3, а AQ = 4. Плоскость A1PQ пересекает ребро BC в точке M.
а) Докажите, что точка M является серединой ребра BC.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости A1PQ.
а) Пусть прямые A1Q и BB1 пересекаются в точке R (см. рис.). Тогда точка M — точка пересечения прямых PR и BC.
Треугольники A1B1R и QBR подобны, откуда
Треугольники PB1R и MBR подобны, откуда
Значит, M — середина BC.
б) Расстояние от точки B до плоскости A1PQ равно высоте h пирамиды BRQM, опущенной из вершины B. Значит, с одной стороны, объём пирамиды BRQM
C другой стороны, 
Таким образом,
Найдем стороны треугольника QMR:
Площадь равнобедренного треугольника QMR равна
Следовательно, 
Ответ: 