В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С точки М и N — середины катетов АС и ВС соответственно, СН — высота.
а) Докажите, что прямые МН и NH перпендикулярны.
б) Пусть Р — точка пересечения прямых АС и NH, а Q — точка пересечения прямых BC и МН. Найдите площадь треугольника PQM, если АН = 12 и ВН = 3.
а) Треугольники АНС и ВНС прямоугольные (рис. 1), поэтому
и 
Значит, треугольники MCN и MHN равны по трём сторонам, откуда 
б) В прямоугольном треугольнике АВС имеем: 
(рис. 2).
В прямоугольных треугольниках МНР и MCQ с общим углом CMH получаем:
поэтому треугольники МНС и MРQ подобны с коэффициентом подобия
Площадь S треугольника МНС равна половине площади треугольника АНС, то есть 
Найдём 
Значит, площадь треугольника MPQ равна 
Ответ: б) 50.
Примечание Дмитрий Гущина.
Площадь треугольника PQM равна половине произведения QC на PM. Для того, чтобы определить длины данных отрезков, можно два раза применить теорему Менелая:
и 
откуда: 
