РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д10 C2 № 514596 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 160

Классификатор стереометрии: Куб, Угол между плоскостями

Сложная стереометрия. Многогранники

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁.

а)  Докажите, что объём пирамиды с основанием A₁BCD₁ и вершиной в точке B₁ составляет третью часть объёма куба.

б)  Найдите угол между плоскостями B₁A₁B и B₁D₁C.

Решение. a)  Имеем:

$V_B_1A_1BCD_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби d левая круглая скобка B1,A_1BCD_1 правая круглая скобка умножить на S_A_1BCD_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби B_1A умножить на A1B умножить на A_1D_1=$

$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби B_1A в квадрате умножить на AB= дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби умножить на 2AB в квадрате умножить на AB= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби V_A\ldots D_1.$

б)   $\angle левая круглая скобка B_1A_1B,B_1D_1C правая круглая скобка =\angle левая круглая скобка D_1C_1C,B_1D_1C правая круглая скобка .$ Эти плоскости пересекаются по прямой $D_1C.$ Опустим на нее перпендикуляры из точек $C_1$ и $B_1.$ Они упадут в середину K отрезка $D_1C,$ поскольку треугольники $C_1D_1C$ и $B_1D_1C$ равнобедренные. Тогда в треугольнике $B_1C_1K$ имеем

$\angle левая круглая скобка D_1C_1C,B_1D_1C правая круглая скобка =\angle левая круглая скобка B_1K,C_1K правая круглая скобка =\angle B_1KC_1=$
$= арктангенс дробь: числитель: B_1C_1, знаменатель: C_1K конец дроби = арктангенс дробь: числитель: 2B_1C_1, знаменатель: C_1D конец дроби = арктангенс дробь: числитель: 2B_1C_1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента B_1C_1 конец дроби = арктангенс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$ $\angle левая круглая скобка D_1C_1C,B_1D_1C правая круглая скобка =\angle левая круглая скобка B_1K,C_1K правая круглая скобка =$
$=\angle B_1KC_1= арктангенс дробь: числитель: B_1C_1, знаменатель: C_1K конец дроби = арктангенс дробь: числитель: 2B_1C_1, знаменатель: C_1D конец дроби =$
$= арктангенс дробь: числитель: 2B_1C_1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента B_1C_1 конец дроби = арктангенс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

Ответ: $арктангенс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Обоснованно получен верный ответ.

Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Ответ: $арктангенс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

514596

$арктангенс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 160

Классификатор стереометрии: Куб, Угол между плоскостями

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	514596	$арктангенс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$