Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д15 C4 № 514591
i

Точка O  — се­ре­ди­на от­рез­ка AC. На от­рез­ках AC и AO, как на диа­мет­рах, по­стро­е­ны две окруж­но­сти. Хорда CK одной из них ка­са­ет­ся дру­гой окруж­но­сти в точке P.

а)  До­ка­жи­те, что тан­генс \angle CAP= дробь: чис­ли­тель: PC, зна­ме­на­тель: AC конец дроби .

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка AKC, если из­вест­но. что OC  =  3.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Обо­зна­чим за O_1 центр мень­шей окруж­но­сти, за R ее ра­ди­ус. Тогда R=O_1O=O_1P=O_1A. Пусть \angle O_1AP= альфа , тогда \angle APO_1= альфа , \angle CO_1P=2 альфа .

Из тре­уголь­ни­ка CO_1P имеем CO_1=3R, CP= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 9R в квад­ра­те минус R в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та R, по­это­му тан­генс 2 альфа =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та . Обо­зна­чим t= тан­генс альфа боль­ше 0, тогда

дробь: чис­ли­тель: 2t, зна­ме­на­тель: 1 минус t в квад­ра­те конец дроби =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ,2 минус 2t в квад­ра­те = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та t,2t в квад­ра­те плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та t минус 2=
=0,t= дробь: чис­ли­тель: минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 18 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та R, зна­ме­на­тель: 4R конец дроби = дробь: чис­ли­тель: PC, зна­ме­на­тель: AC конец дроби ,

что и тре­бо­ва­лось.

б)  За­ме­тим, что R=1,5. Оче­вид­но, \angle CKA=90 гра­ду­сов, так как AC  — диа­метр. Зна­чит, тре­уголь­ни­ки AKC и O_1PC по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том AC:O_1C= дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Тогда

S_AKC= дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби S_O_1PC= дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби CP умно­жить на PO_1= дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби умно­жить на 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та умно­жить на R в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби умно­жить на 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби =4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б.3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б.

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а.

ИЛИ

При обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 159
Классификатор планиметрии: Окруж­но­сти, Окруж­но­сти и си­сте­мы окруж­но­стей, Окруж­но­сти и тре­уголь­ни­ки, По­до­бие
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025