PDF-версии: 
Найдите все a, при каждом из которых система
имеет единственное решение.
Решение. Умножая последнее уравнение на 
и складывая его со вторым, получим 
С учетом этого первое неравенство можно переписать в виде 
или 
Отметим на координатной плоскости точки, удовлетворяющие этим условиям. Это точки гиперболы 
лежащие в круге радиуса 5 с центром в точке 
Нарисовав этот круг и гиперболу, мы увидим, что они имеют 4 точки пересечения 
(координаты легко угадываются).
Уравнение 
задает прямую, проходящую через точку 
с переменным угловым коэффициентом. Эта прямая проходит через точки пересечения окружности и гиперболы при 
соответственно.
Найдём при каких значениях a прямая касается гиперболы.
Случай касания соответствует дискриминанту равному нулю: 
Прямая пересекает дуги гиперболы, лежащие в круге, при 
но при 
точек пересечения будет две, что не подходит.
Единственность точки пересечения со второй ветвью гиперболы очевидна из картинки.
Таким образом, система имеет единственное решение при 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 3 |
| Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 2 |
| Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |