РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д12 C3 № 514576 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 157

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Неравенства, рациональные относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Сложные неравенства. Неравенства различных типов

Решите неравенство $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 минус логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 4x в квадрате минус 4x плюс 1 правая круглая скобка конец дроби \leqslant1.$

Решение. Обозначим $t= логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 4x в квадрате минус 4x плюс 1 правая круглая скобка =t.$ Сразу отметим, что $x принадлежит левая круглая скобка минус 1;1 правая круглая скобка , x не равно 0,$ $x не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Получим $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 минус t конец дроби меньше или равно 1,$ откуда $t больше 2$ или $t меньше или равно 1.$ Решим оба неравенства (заметим, кстати, что $1 минус x в квадрате меньше 1$ ).

Случай 1. $логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 4x в квадрате минус 4x плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно 1.$

$логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 4x в квадрате минус 4x плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус x в квадрате правая круглая скобка ,$

$4x в квадрате минус 4x плюс 1 больше или равно 1 минус x в квадрате ,$

$левая круглая скобка 5x минус 4 правая круглая скобка x больше или равно 0,$

$x больше дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби илиx меньше 0.$

Учитывая условия на x, получаем $минус 1 меньше x меньше 0,$ $дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби меньше или равно x меньше 1.$

Случай 2. $логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 4x в квадрате минус 4x плюс 1 правая круглая скобка больше 2.$

$4x в квадрате минус 4x плюс 1 меньше левая круглая скобка 1 минус x в квадрате правая круглая скобка в квадрате ,$

$левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка в квадрате меньше 0,$

$левая круглая скобка 2x минус x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x минус 2 правая круглая скобка меньше 0.$

Поскольку нас интересуют только $x принадлежит левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка ,$ первый множитель положителен.

$x в квадрате плюс 2x минус 2 меньше 0,$

$минус 1 минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента меньше x меньше минус 1 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Учитывая условия на x, получаем $0 меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 1.$ Заметим, кстати, что $корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 1 меньше 0,74 меньше 0,8= дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби .$

Ответ: $x принадлежит левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби ;1 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

514576

$x принадлежит левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби ;1 правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 157

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	514576	$x принадлежит левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби ;1 правая круглая скобка .$