Ре­ше­ние. Сумма всех чисел на до­ми­нош­ках равна 8(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)  =  168.

а)  Да, это воз­мож­но. На­при­мер

6-0

6-6

6-5, 6-1

6-4, 6-3, 5-0

6-2, 5-5, 5-4, 3-0

5-3, 5-2, 5-1, 4-4, 4-3

Осталь­ные.

б)  Если сумма в пятой кучке равна x, то сумма всех чисел равна но не крат­но 9.

в)  Пусть в пер­вой кучке сумма x, всего кучек n и раз­ность про­грес­сии равна Тогда

Если число кучек не­чет­но, то 168 долж­но де­лить­ся на Из не­чет­ных чисел, боль­ших оно де­лит­ся лишь на од­на­ко если есть 21 кучка, то сред­няя из них имеет раз­мер что не­воз­мож­но.

Если же это число четно, то 336 долж­но де­лить­ся на При этом от­ку­да Но на 18 число 336 не де­лит­ся.

Пусть тогда возь­мем Это воз­мож­но, вот раз­би­е­ние на кучки:

0-3

0-4

0-5

0-6

1-6

2-6

3-6

4-6

5-6

6-6

5-5, 1-2

5-4, 1-4

5-3, 5-2

5-1, 4-4, 1-1

4-3, 4-2, 2-2,

3-3, 3-2, 3-1, 2-0, 1-0, 0-0

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  16.