PDF-версии: 
Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два решения.
Решение. Отметим точки, координаты которых удовлетворяют системе. Первое уравнение задает прямую, проходящую через точку 
и параллельную прямой 
второе — окружность радиуса 1 и окружность радиуса 
при 
(при 
получается точка).
Теперь разберем случаи.
1) 
Очевидно, прямая пересекает окружность радиуса 1 при 
а при 
прямая касается окружности в точке 
Поэтому подходят 
2) 
Прямая пересекает окружность в двух точках и еще проходит через точку 
— итого три точки.
3) 
Прямая пересекает окружность радиуса 1 в двух точках, поэтому не должна пересечь окружность радиуса 
То есть расстояние от центра окружности до этой прямой (равное 
) должно быть больше радиуса окружности
Это невозможно, поэтому такие a не подходят.
4) 
Тогда окружности совпадают и точек пересечения действительно две.
5) 
Тогда прямая касается одной окружности, но не касается второй. Это не подходит.
6) 
Прямая не пересекает окружность радиуса 1, поэтому должна пересечь окружность радиуса в двух точках. То есть расстояние от центра окружности до этой прямой (равное ) должно быть меньше радиуса окружности
Итак, подходят 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 3 |
| Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 2 |
| Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |