PDF-версии: 
Бесконечная арифметическая прогрессия a1, a2, ..., an, ... состоит из различных натуральных чисел.
а) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a1, a2, ..., a7 ровно три числа делятся на 36?
б) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a1, a2, ..., a30 ровно 9 чисел делятся на 36?
в) Для какого наибольшего натурального n могло оказаться так, что среди чисел a1, a2, ..., a2n больше кратных 36, чем среди чисел a2n + 1, a2n + 2, ..., a5n?
Решение. а) Подходящим примером является прогрессия с первым членом 18 и разностью 18. Среди первых семи её членов (18, 36, 54, 72, 90, 108, 126) ровно три делятся на 36.
б) Обозначим через d разность арифметической прогрессии a1, a2, ..., an, .... Из условия следует, что d — натуральное число. Пусть m и n — натуральные числа, m > n, НОД(d, 36) обозначает наибольший общий делитель чисел d и 36. Имеем
Следовательно, разность am − an делится на 36 тогда и только тогда, когда разность m − n делится на 
Значит, если среди членов арифметической прогрессии a1, a2, ..., an, ... есть кратные 36, то это члены с номерами вида 
где q — номер первого члена, кратного 
а p пробегает все неотрицательные целые числа. Поэтому среди любых k последовательных членов прогрессии a1, a2, ..., an, ... ровно один будет делиться на 36. Если 
то 
и среди чисел a1, a2, ..., a30 будет по крайней мере 10 чисел, кратных 36. Если же 
то 
и среди чисел a1, a2, ..., a30 будет не более 8 чисел, кратных 36. Значит, не существует такой прогрессии, в которой среди чисел a1, a2, ..., a30 ровно 9 чисел делятся на 36.
в) Обозначим через [x] целую часть числа x — наибольшее целое число, не превосходящее x. По доказанному в пункте б) среди любых k последовательных членов прогрессии a1, a2, ..., an, ... ровно один будет делиться на 36, где 
d — разность арифметической прогрессии.
Значит, среди чисел a1, a2, ..., a2n кратными 36 будут не более 
чисел. Аналогично, среди чисел a2n + 1, a2n + 2, ..., a5n кратными 36 будут не менее 
чисел. Неравенство 
выполнено тогда и только тогда, когда 
Пусть это равенство выполнено. Тогда разность между числами 
и 
меньше 1. Получаем, что 
и 
Значит, 
и 
Поскольку число k не превосходит 36, отсюда следует, что 
Рассмотрим прогрессию с первым членом 27 и разностью 1. Тогда среди чисел a1, a2, ..., a46 ровно два делятся на 36 (a10 = 36 и a46 = 72). Среди чисел a47, a48, ..., a115 ровно одно делится на 36 (a82 = 108). Этот пример показывает, что n может равняться 23.
Ответ: а) Да, например, прогрессия 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, ...; б) нет; в) 23.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |