PDF-версии: 
Через середину ребра AA1 куба ABCDA1B1C1D1 перпендикулярно прямой ВD1 проведена плоскость α.
а) Докажите, что сечением куба плоскостью α является правильный шестиугольник.
б) Найдите угол между плоскостями α и ABC.
Решение. а) Отметим середины ребер
(назовем их 
соответственно) и докажем, что они все лежат в одной плоскости, перпендикулярной 
и образуют правильный шестиугольник.
Поскольку 
а проекцией 
на плоскость 
является 
то 
Аналогично доказывается перпендикулярность других ребер диагонали 
Поэтому все они лежат в одной плоскости — перпендикулярной к и проходящей через E.
Длины всех сторон шестиугольника равны, поскольку каждая сторона соединяет середины ребер на одной грани и, значит, равна половине диагонали грани.
Наконец,
а 
Поэтому стороны треугольника EFK пропорциональны числам 
поэтому угол шестиугольника равен 120°. Аналогично остальные углы шестиугольника равны 120°.
б) Заметим, что плоскость пересекает плоскость ABC по прямой KI. Отметим точку T — середину AB. Тогда 
поскольку 
поскольку в шестиугольнике меньшая диагональ перпендикулярна стороне. Значит,
При этом
поэтому 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 2 |
| Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |