PDF-версии: 
Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно три решения.
Решение. Решение 1. Если поменять местами x и y, бывшие решением системы, то снова получится решение системы, поэтому все решения (кроме тех, где 
) разбиваются на пары, и их четное количество. Поэтому если мы хотим ровно три решения, то одно из них должно иметь 
Тогда из первого уравнения 
Заметим далее, что если поменять знаки у x, y, a, то все уравнения снова будут выполнены. Поэтому будем считать, что именно пара 
является решением системы, а при выписывании в ответ не забудем взять a с противоположными знаками.
Второе уравнение тогда превращается в 
то есть 
или 
Разберем теперь эти случаи.
Случай 1. Тогда 
и второе уравнение дает 
то есть 
или 
Второе, очевидно, невозможно.
Если же 
то из первого уравнения имеем 
Итак, в этом случае система имеет единственное решение, что нас не устраивает.
Случай 2. 
То есть 
Поскольку 
минимум одно из чисел больше чем ?1. Будем считать, что это x (иначе поменяем x и y местами, это возможно, как мы уже обсуждали).
Тогда возможны следующие варианты:
1) 
Как уже выяснялось, это уравнение в сочетании с первым дает лишь ответ (1, 1).
2) 
при этом 
то есть 
Из первого уравнения 
то есть 
Это не подходит.
3) 
Нас устраивает только 
При этом 
поэтому на самом деле это не решение системы.
4) 
при этом 
то есть 
Из первого уравнения 
Это дает еще два ответа.
Итого при у системы 3 решения, что нас устраивает.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 3 |
| Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 2 |
| Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |