РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д10 C2 № 514066 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 154

Методы геометрии: Метод объемов

Классификатор стереометрии: Куб, Объем тела, Перпендикулярность прямой и плоскости

Сложная стереометрия. Многогранники

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁.

а)  Докажите, что каждая из плоскостей BDA₁ и B₁D₁С перпендикулярна прямой AC₁.

б)  Найдите объем части куба, заключенной между плоскостями BDA₁ и B₁D₁C, если известно, что отрезок диагонали AC₁, заключенный между этими плоскостями, имеет длину $корень из 3 .$

Решение. а)  Заметим, что $BD\perp AC_1,$ поскольку проекция $AC_1$ на грань ABCD (то есть AC) перпендикулярна BD. Аналогично $A_1D\perp AC_1.$ Поэтому и $A_1BD\perp AC_1$ по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

Аналогично $B_1D_1C\perp AC_1.$

б)  Обозначим ребро куба за x. Тогда $BD=x корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента =A_1B=A_1D,$ откуда

$S_A_1BD= дробь: числитель: левая круглая скобка x корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: x в квадрате корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Тогда

$V_AA_1BD= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби d левая круглая скобка A,A_1BD правая круглая скобка умножить на S_A_1BD=d левая круглая скобка A,A_1BD правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: x в квадрате корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 6 конец дроби .$

C другой стороны, $V_AA_1BD= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби d левая круглая скобка A_1,ABD правая круглая скобка умножить на S_ABD= дробь: числитель: x в кубе , знаменатель: 6 конец дроби .$

Итак, $d левая круглая скобка A,A_1BD правая круглая скобка = дробь: числитель: x, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби .$ Ясно, что и $d левая круглая скобка C_1,B_1D_1C правая круглая скобка = дробь: числитель: x, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби .$ При этом $AC_1=x корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ поэтому отрезок диагонали, заключенный между плоскостями, равен $x корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус дробь: числитель: x, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби минус дробь: числитель: x, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: x, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ откуда $x=3.$

Тогда объемы пирамид $AA_1BD$ и $CC_1B_1D_1$ равны $дробь: числитель: x в кубе , знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби ,$ откуда объем части куба между плоскостями равен $3 в кубе минус 2 умножить на дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби =18.$

Ответ: 18.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Обоснованно получен верный ответ.

Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Ответ: 18.

514066

18.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 154

Методы геометрии: Метод объемов

Классификатор стереометрии: Куб, Объем тела, Перпендикулярность прямой и плоскости

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	514066	18.