РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Определите, имеют ли общие члены две последовательности

а)  3; 16; 29; 42;… и 2; 19; 36; 53;…

б)  5; 16; 27; 38;… и 8; 19; 30; 41;…

в)  Определите, какое наибольшее количество общих членов может быть у двух арифметических прогрессий 1; …; 100 и 9; …; 999, если известно, что у каждой из них разность является целым числом, отличным от 1.

Решение. а)  Первая последовательность имеет вид $3 плюс 13 левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка ,$ вторая  — $2 плюс 17 левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка .$ Поскольку

$172=3 плюс 13 умножить на 13=2 плюс 10 умножить на 17,$

оно встретится в обеих последовательностях.

б)  Первая последовательность имеет вид $5 плюс 11 левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка ,$ вторая  — $8 плюс 11 левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка .$ Поэтому члены первой последовательности всегда дают остаток 5 при делении на 11, а второй  — остаток 8. Значит, они не совпадают.

в)  Поскольку разность любых двух членов прогрессии из натуральных чисел делится на разность прогрессии, то 99 кратно разности первой прогрессии, а 990 кратно разности второй прогрессии. Наименьший возможный делитель числа 99 равен 3, что дает прогрессию $1,4,7,10,\ldots,100.$ Если в качестве второй взять прогрессию $9,11,13,\ldots,999,$ то совпадут числа $13,19,25,\ldots,97.$ Их 14.

Если взять другую вторую прогрессию, то число 10 точно в нее не войдет, а из каждой пары чисел $левая круглая скобка 13,16 правая круглая скобка , левая круглая скобка 19, 22 правая круглая скобка ,\ldots, левая круглая скобка 97,100 правая круглая скобка$ войдет не более одного числа (иначе ее разность была бы делителем числа 3, значит, равна трем, но тогда это прогрессия $9,12,15,\ldots,$ у нее с первой вообще нет общих членов).

Если же взять другую первую прогрессию, то ее разность минимум 9, поэтому у нее всего не более $дробь: числитель: 100 минус 1, знаменатель: 9 конец дроби плюс 1=12$ членов.

Ответ: а) да, б) нет, в) 14.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов:   — пример в п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);   — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	514064	а) да, б) нет, в) 14.

Ключ