PDF-версии: 
В правильной треугольной пирамиде SABC точка P — середина AB, точка K — середина BC. Через точки P и K параллельно SB проведена плоскость Ω.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью Ω является прямоугольником.
б) Найдите расстояние от точки S до плоскости Ω, если известно, что SC = 5, AC = 6.
Решение. а) Пусть L — середина SC, M — середина SA. Тогда
(средняя линия треугольника параллельна его стороне) и, значит, точки P, K, L, M лежат в одной плоскости. Поскольку также 
это и есть описанная в условии плоскость 
А сечение пирамиды — четырехугольник PKLM. Он параллелограмм, поскольку 
Вычислим его угол.
поскольку проекция прямой SB на плоскость ABC — прямая BH, перпендикулярная стороне AC.
б) Проведем плоскость SBH, где H — середина AC. Пусть она пересекает ML и PK в точках T и Q соответственно. Эта плоскость перпендикулярна ML, поскольку 
Поэтому любая прямая в этой плоскости перпендикулярна ML. Значит, если опустить перпендикуляр из B на TQ — это и будет искомое расстояние. Очевидно также, что T и Q — середины SH и BH соответственна, поэтому TQ — средняя линия треугольника SHB и 
Рассмотрим треугольник SHB. В нем 
Если провести в нем высоту из вершины S, она упадет в ценр треугольника ABC, то есть в точку, делящую BH в отношении 
откуда длина этой высоты равна 
Теперь можно найти нужное расстояние.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 2 |
| Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |