Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д19 C7 № 514057

а) Можно ли число 2016 представить в виде суммы семи последовательных натуральных чисел?  

б) Можно ли число 2016 представить в виде суммы шести последовательных натуральных чисел?

в) Представьте число 2016 в виде суммы наибольшего количества последовательных чётных натуральных чисел.

Спрятать решение

Решение.

а) Да, 285 плюс 286 плюс 287 плюс 288 плюс 289 плюс 290 плюс 291=2016.

б) Нет. Среди шести подряд идущих натуральных чисел всегда ровно три нечетных, поэтому сумма окажется нечетной.

в) Пусть это числа от 2k до 2k плюс 2n минус 2 (тем самым их n штук).

Получаем n умножить на дробь: числитель: 2k плюс 2k плюс 2n минус 2, знаменатель: 2 конец дроби =2016.

n левая круглая скобка 2k плюс n минус 1 правая круглая скобка =2016 и требуется сделать n как можно больше. Заметим, что n левая круглая скобка 2k плюс n минус 1 правая круглая скобка больше или равно n в квадрате , откуда n < 45. Кроме того, 2016 кратно n.

Самое большое такое n минус 42, но тогда 2k плюс n минус 1=48, и k получается нецелым.

Следующее по величине n минус 36, тогда 2k плюс n минус 1=56, и k получается нецелым.

Следующее по величине n минус 32, тогда 2k плюс n минус 1=63, и k=16.

Итак, если взять 32 последовательных чётных натуральных числа, начав с числа 32, то получим нужную сумму.

 

Ответ: а) да, б) нет, в) 32+34+36+ ... +94=2016.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующих результатов:

— пример в п. а;

— обоснованное решение п. б;

— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);

— обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 152.
Классификатор алгебры: Числа и их свойства