РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д17 C6 № 514056 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 152

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Сложные задачи с параметром. Уравнения с параметром

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

$x в квадрате минус 5x плюс 10= дробь: числитель: a плюс 19, знаменатель: x плюс 2 конец дроби$

имеет ровно два корня на отрезке $левая квадратная скобка минус 1;2,5 правая квадратная скобка .$

Решение. Поскольку $x= минус 2$ нас все равно не интересует, можно переписать уравнение в виде

$левая круглая скобка x в квадрате минус 5x плюс 10 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка минус 19=a,$

$x в кубе минус 3x в квадрате плюс 1=a.$

Исследуем поведение функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в кубе минус 3x в квадрате плюс 1$ на указанном отрезке. Возьмем ее производную.

$f' левая круглая скобка x правая круглая скобка =3x в квадрате минус 6x=3x левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка .$

Поэтому функция возрастает на $левая квадратная скобка минус 1;0 правая квадратная скобка$ и $левая квадратная скобка 2;2.5 правая квадратная скобка$ и убывает на $левая квадратная скобка 0;2 правая квадратная скобка .$

$f левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка = минус 3,f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =1,f левая круглая скобка 2 правая круглая скобка = минус 3,f левая круглая скобка 2,5 правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 17, знаменатель: 8 конец дроби .$

Отсюда следует, что ровно два решения на отрезке будет при $a= минус 3$ и $a принадлежит левая круглая скобка минус дробь: числитель: 17, знаменатель: 8 конец дроби ; 1 правая круглая скобка .$

Ответ: $a принадлежит левая фигурная скобка минус 3 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка минус дробь: числитель: 17, знаменатель: 8 конец дроби ; 1 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	2
Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

514056

$a принадлежит левая фигурная скобка минус 3 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка минус дробь: числитель: 17, знаменатель: 8 конец дроби ; 1 правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 152

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	514056	$a принадлежит левая фигурная скобка минус 3 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка минус дробь: числитель: 17, знаменатель: 8 конец дроби ; 1 правая круглая скобка .$