РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д15 C4 № 514054 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 152

Методы геометрии: Свойства медиан, Теорема Менелая

Классификатор планиметрии: Многоугольники

Сложная планиметрия. Многоугольники

На сторонах AD и BC параллелограмма AВCD взяты соответственно точки M и N, причем ВN : NC  =  1 : 3. Оказалось, что прямые AN и АС разделили отрезок BM на три равные части.

а)  Докажите, что точка M  — середина стороны АD параллелограмма.

б)  Найдите площадь параллелограмма ABCD, если известно, что площадь четырехугольника, ограниченного прямыми АN, AС, BM и BD равна 16.

Решение. а)  Обозначим за O точку пересечения диагоналей параллелограмма, а за T  — точку пересечения BM и AC.

По теореме Менелая для треугольника DBM и прямой OTA имеем $дробь: числитель: DO, знаменатель: OB конец дроби умножить на дробь: числитель: BT, знаменатель: TM конец дроби умножить на дробь: числитель: MA, знаменатель: AD конец дроби =1,$ откуда $MA:AD=1:2,$ поэтому M  — середина AD.

б)  Обозначим за P  — точку пересечения BM и AN, а за Q  — точку пересечения BD и AN. По условию $S_TPQO=16.$

По теореме Менелая для треугольника CBO и прямой NQA имеем $дробь: числитель: CN, знаменатель: NB конец дроби умножить на дробь: числитель: BQ, знаменатель: QO конец дроби умножить на дробь: числитель: OA, знаменатель: AC конец дроби =1$ откуда $BQ:QO=2:3.$

Поэтому $дробь: числитель: S_BPQ, знаменатель: S_BTO конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби ,$ поэтому

$S_TPQO= дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби S_BTO,S_BTO=20.$

Поскольку AO  — медиана треугольника ABD, то $AT:TO=2:1,$ откуда $S_BAO=3S_BTO=60.$ Тогда $S_ABCD=4S_BAO=240.$

Ответ: 240.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.	3
Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

Ответ: 240.

514054

240.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 152

Методы геометрии: Свойства медиан, Теорема Менелая

Классификатор планиметрии: Многоугольники

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	514054	240.