РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Как известно, шахматный конь ходит буквой «Г» (рис.)

Конь расположен в левой нижней клетке шахматной доски 8х8 (поле А1).

а)  Может ли конь оказаться в верхней правой клетке (на поле Н8), сделав при этом ровно 2015 ходов?

б)  Может ли конь за 63 хода побывать в каждой из оставшихся 63 клеток?

в)  За какое наименьшее число ходов конь может оказаться в верхней правой клетке (на поле Н8)?

Решение. а)  Будем считать, что все клетки имеют координаты от 1 до 8 по двум осям (поместим доску в первый координатный угол). Тогда каждый ход сумма координат меняется на 1 или на 3, то есть меняет четность. Поэтому за 2015 ходов четность суммы координат поменяется. Поскольку вначале эта сумма четна (1+1), конь не сможет попасть на поле суммой координат 8 + 8 за 2015 ходов.

б)  На рисунке представлен один из вариантов маршрута коня. Клетки пронумерованы в порядке посещения.

$\beginmatrix 54 21 34 9 58 19 32 7 35 10 55 20 33 8 57 18 22 53 64 59 56 45 6 31 11 36 49 46 63 60 17 44 50 23 52 61 40 47 30 5 37 12 25 48 27 62 43 16 24 51 2 39 14 41 4 29 1 38 13 26 3 28 15 42 \endmatrix$

в)  При каждом ходе сумма координат меняется максимум на 3, а должна поменяться на 14. Поэтому не хватит 4 ходов, а за 5 ходов нельзя по тем же причинам, что и за 2015  — сменится четность. За 6 ходов это возможно. Укажем координаты посещаемых клеток: (1,1) − (2,3) − (4,4) − (6,3) − (5,5) − (6,7) − (8,8).

Ответ: а) нет б) да в) 6

Приведём другое решение п. а).

В начальный момент конь стоит на белой клетке. При каждом ходе цвет клетки меняется. Следовательно, за нечетное количество ходов, конь должен остановиться на белой клетке. Поле Н8 черное. Поэтому попасть в него конь не сможет.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов:   — пример в п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);   — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	513797	а) нет б) да в) 6

Ключ