РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

При каких значениях параметра a система

имеет единственное решение?

Решение. Заметим, что

причем равенство возможно только при $минус a минус 1 меньше или равно x меньше или равно минус a,$ а при таких x равенство выполняется.

Значит, левая часть первого уравнения всегда не меньше двух и равна двум только в случае когда $минус a минус 1 меньше или равно x меньше или равно минус a,$ $a меньше или равно y меньше или равно a плюс 1.$ При произвольном a эти условия задают на координатной плоскости квадрат со стороной 1.

Второе уравнение системы задает два луча, исходящие из точки $левая круглая скобка 4, минус 5 правая круглая скобка ,$ задаваемые уравнениями $y=2x минус 13,$ $y=3 минус 2x.$

Очевидно, что единственное решение система может иметь только если один из лучей проходит через одну из вершин квадрата, а второй не имеет с квадратом общих точек.

Поскольку для любой точки квадрата $x плюс y меньше или равно минус a плюс a плюс 1=1,$ все такие квадраты лежат ниже прямой $x плюс y=1,$ $y=1 минус x$ (а на этой прямой лежит их верхняя правая вершина). Она пересекает график второго уравнения при $x=2$ и $x= дробь: числитель: 14, знаменатель: 3 конец дроби .$ Значит, при $a= минус 2$ будет единственное решение. Затем луч $y=3 минус 2x$ пересекает квадрат по отрезку до момента, когда левая нижняя вершина попадет на этот луч. То есть при условии, что $a=3 минус 2 левая круглая скобка минус a минус 1 правая круглая скобка ,$ $a= минус 5.$ Однако при таком a квадрат уже пересекает второй луч.

И это продолжается до тех пор, пока левая верхняя вершина квадрата не окажется на луче $y=2x минус 13.$ Это произойдет, когда $a плюс 1=2 левая круглая скобка минус a минус 1 правая круглая скобка минус 13,$ $a= минус дробь: числитель: 16, знаменатель: 3 конец дроби .$ После этого квадрат окажется ниже линии $y=2x минус 13$ и решений не станет.

Ответ: $a= минус дробь: числитель: 16, знаменатель: 3 конец дроби$ или $a= минус 2.$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	2
Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	513782	$a= минус дробь: числитель: 16, знаменатель: 3 конец дроби$ или $a= минус 2.$

Ключ