РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

а)  На доске записаны числа: 4, 14, 24, ..., 94, 104. Можно ли стереть сначала одно число из записанных, потом стереть еще два, потом  — еще три, и, наконец, стереть еще четыре числа так, чтобы после каждого стирания сумма оставшихся на доске чисел делилась на 11?

б)  В строку выписано 23 натуральных числа (не обязательно различных). Докажите, что между ними можно так расставить скобки, знаки сложения и умножения, что значение полученного выражения будет делиться на 2000 нацело.

Решение. а)  Сумма всех чисел изначально равна 594, что кратно 11, поэтому первое стертое число должно быть 44. С другой стороны, поледнее оставшееся число тоже должно быть 44  — противоречие.

б)  Докажем сначала, что из любых n натуральных чисел, выписанных в строку, всегда можно найти несколько подряд, сумма которых кратна n.

В самом деле, сложим одно число, начиная с первого, затем два числа, начиная с первого и так далее до суммы всех чисел. Получим n сумм. Если среди них есть сумма, кратная n, то все доказано. Если нет, то найдутся две суммы с одинаковыми остатками от деления на n (всего ненулевых остатков ровно $n минус 1$ ). Вычтем из большей меньшую  — получим сумму нескольких подряд чисел, кратную n.

Перейдем к решению задачи. Разобьем числа на 3 группы по 5 чисел и 4 группы по два числа. По лемме выделим в них наборы подряд стоящих чисел, кратных 5 и 2 соответственно. Поставим внутри наборов плюсы, вокруг наборов скобки и в остальных местах знаки умножения. Тогда результат будет делиться на $5 в кубе 2 в степени 4 =2000,$ что и требовалось доказать.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов:   — пример в п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);   — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ключ