Ре­ше­ние. Сни­мем мо­дуль, по­лу­чим:

Функ­ция f опре­де­ле­на и не­пре­рыв­на на всей ве­ще­ствен­ной оси, ее гра­фик со­сто­ит из ча­стей двух па­ра­бол, ветви ко­то­рых на­прав­ле­ны вниз. Рас­смот­рим оба слу­чая.

Если то Этот квад­рат­ный трех­член с от­ри­ца­тель­ным стар­шим ко­эф­фи­ци­ен­том при­ни­ма­ет мак­си­маль­ное зна­че­ние при На­хо­дим:

Най­ден­ное зна­че­ние долж­но быть не мень­ше 1, от­ку­да При таких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра для вы­пол­не­но усло­вие

Если то Этот квад­рат­ный трех­член при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние в точке На­хо­дим:

Най­ден­ное зна­че­ние долж­но быть не мень­ше 1, от­ку­да При таких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра для вы­пол­не­но усло­вие

Ответ:

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Чтобы наи­боль­шее зна­че­ние дан­ной функ­ции было не мень­ше 1, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы она в какой-то точке при­ня­ла зна­че­ние 1. В самом деле, Если наи­боль­шее зна­че­ние ее не мень­ше еди­ни­цы, то по не­пре­рыв­но­сти в какой-то точке будет зна­че­ние еди­ни­ца. Если же наи­боль­шее зна­че­ние мень­ше еди­ни­цы, то зна­че­ние еди­ни­ца при­ни­мать­ся не может. Итак, за­да­ча све­лась к такой  — при каких a есть корни у урав­не­ния По­сколь­ку это урав­не­ние рав­но­силь­но со­во­куп­но­сти

Эта со­во­куп­ность имеет ре­ше­ния если или если то есть при или

Ответ:

При­ве­дем еще одно ре­ше­ние.

За­дан­ная функ­ция не­пре­рыв­на и на бес­ко­неч­но­стях стре­мит­ся к минус бес­ко­неч­но­сти. По­это­му при любом зна­че­нии па­ра­мет­ра она до­сти­га­ет сво­е­го наи­боль­ше­го зна­че­ния. Тогда для того, чтобы наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции было не мень­ше 1, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы не­ра­вен­ство имело ре­ше­ние. За­пи­шем его в виде

и по­стро­им гра­фи­ки левой и пра­вой ча­стей не­ра­вен­ства.

Гра­фик пра­вой части не­ра­вен­ства  — па­ра­бо­ла, по­лу­чен­ная из па­ра­бо­лы, за­да­ва­е­мой урав­не­ни­ем сдви­гом на 1 вверх вдоль оси ор­ди­нат. Гра­фик пра­вой части не­ра­вен­ства по­лу­ча­ет­ся сдви­гом гра­фи­ка функ­ции сдви­гом на |a| еди­ниц вдоль оси абс­цисс впра­во или влево в за­ви­си­мо­сти от знака a.

Пусть при пра­вая ветвь гра­фи­ка мо­ду­ля ка­са­ет­ся па­ра­бо­лы, а при   — левая (см. рис.). Тогда при па­ра­бо­ла це­ли­ком лежит выше гра­фи­ка мо­ду­ля и не­ра­вен­ство не имеет ре­ше­ний. При про­чих зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра не­ра­вен­ство имеет ре­ше­ния, по­это­му оста­лось уста­но­вить зна­че­ния, со­от­вет­ству­ю­щие ка­са­нию.

При в силу ра­вен­ства по­лу­ча­ем урав­не­ние или Слу­чаю ка­са­ния со­от­вет­ству­ет един­ствен­ное ре­ше­ние этого урав­не­ния, по­это­му его дис­кри­ми­нант дол­жен быть равен нулю: от­ку­да Ана­ло­гич­но для по­лу­ча­ем урав­не­ние от­ку­да на­хо­дим или Тем самым,