Тип Д19 C7 № 513210 
Сложные задания на числа и их свойства. Числа и их свойства
i
а) Среди 9 монет одинакового достоинства одна фальшивая — ее вес меньше, чем у настоящих. Как при помощи двух взвешиваний на чашечных весах без гирь выделить фальшивую монету?
б) Известно, что среди гирь достоинством 1 кг, 2 кг, 3 кг и 5 кг одна гиря отличается по весу от маркировки, указанной на ней. Можно ли при помощи двух взвешиваний на чашечных весах без гирь выделить «неправильную» гирю?
в) Среди 12 монет одинакового достоинства одна фальшивая — ее вес отличается от веса настоящих, но неизвестно, легче она настоящих или тяжелее. За какое наименьшее число взвешиваний на чашечных весах без гирь можно выделить фальшивую монету и при этом установить, легче она или тяжелее настоящих?
Решение. а) Взвесим по три монеты. Если одна из троек перевесит, то фальшивая в другой тройке, если же на весах равновесие, то фальшивая среди трех, которые мы не брали. В любом случае остается три подозрительных монеты.
Взвесим две из них. По этому взвешиванию фальшивая найдется.
б) Проверим равенства 
Если нарушается только первое равенство, то неправильна гиря 1 кг, если только второе — 5 кг. Если в обоих равенствах перевешивает одна чашка, то 3 кг, если разные чашки — то 2 кг.
в) Пронумеруем монеты числами от 1 до 12. Взвесим монеты 1 — 4 с монетами 5 — 8.
1) Если весы в равновесии, то все монеты на них настоящие. Взвесим 
с 
Если весы и сейчас в равновесии, то фальшивая — 12 и, взвешивая ее с 1, определим, легче она или тяжелее.
Если же равновесия нет, то фальшивая среди монет 9 — 11, и мы знаем ее тип (легче она или тяжелее). Из трех монет можно найти фальшивую за одно взвешивание (см. пункт а)
2) Если одна чашка перевесила. Пусть, например, это чашка 1 — 4. Тогда либо одна из них тяжелее настоящих, либо одна из 5 — 8 легче настоящих.
Взвесим 1, 2, 5 и 3, 4, 6.
Если весы в равновесии, то взвесим 7 и 8 — фальшивая та из них, которая легче.
Если одна чашка перевесила, то пусть, например, это чашка 1, 2, 5. Это означает, что фальшивая либо 1 либо 2 (тяжелее настоящей), либо 6 (легче настоящей). Взвешивая 1 и 2, мы определим, какая ситуация реализовалась.
Докажем, что за 2 взвешивания сделать этого нельзя. Допустим, есть такой алгоритм. При его выполнении может произойти 9 вариантов (3 результата первого взвешивания и в каждом из них три результата второго взвешивания). По этим вариантам мы должны назвать фальшивую монету однозначно. Но поскольку монет 12, то какую-то из них наш алгоритм никогда не назовет фальшивой. Значит, если именно она фальшивая, алгоритм даст неправильный ответ.
Ответ: б) да, в) 3.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: — пример в п. а; — обоснованное решение п. б; — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1); — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ: б) да, в) 3.
PDF-версии: