PDF-версии: 
В окружности проведены хорды АС и ВD, пересекающиеся в точке О, причем касательная к окружности, проходящая через точку С, параллельна ВD.
а) Докажите, что DC2 = АС ∙ СО.
б) Найдите площадь треугольника СDО, если известно, что AB : ВО = 3 : 1, а площадь треугольника АСD равна 36.
Решение. а) Проведем диаметр окружности CK. Он будет перпендикулярным к заданной касательной, к которой параллельна хорда BD. Отсюда получим: BD ⊥ CK.
Рассмотрим четырехугольник ABCD. Отрезок диаметра, принадлежащий ΔBD окажется его высотой и медианой, откуда: ΔBCD — равнобедренный, то есть BC = DC, ∪BmC = ∪DnC.
В ΔCOD и ΔACD: ∠ACD — общий, ∠CDB = ∠CAD как вписанные, опирающиеся на равные дуги BmC и DnC соответственно. Значит, Δ COD ~ ΔACD, откуда:
что и требовалось доказать,
б) В треугольниках ABO и CDO ∠ABD = ∠ACD как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу AKD, ∠BAC = ∠CDB как вписанные углы опирающиеся на дугу BmC. Следовательно, ΔABO ~ ΔCDO,
Но 
значит, 
Выше было получено: 
Тогда:
Треугольники ACD и CDO имеют равные высоты, проводимые к сторонам AC и CO соответственно. Тогда:
Ответ: б) 4.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |