В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 4. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.
б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.
Сечение (плоскость α) проходит через точки M и N, причем MN — средняя линия. Это означает, что отрезок MN || AB следовательно, MN || (ABC). По условию секущая плоскость перпендикулярна плоскости ABC, следовательно, она пересекает плоскость ABC по уровню PQ, причем PQ || MN. Таким образом, секущая плоскость представляет собой трапецию PMNQ. Рассмотрим прямоугольный треугольник SOE, где SO — высота правильной пирамиды. Точка O лежит на пересечении медиан правильного треугольника (в основании пирамиды) и делит их в отношении 2 : 1, то есть
Точка K является серединой отрезка MN, причем KZ ⊥ CE, откуда следует, что KZ || SO, следовательно, ZE = ZO. Так как 
то
Таким образом, получаем, что CZ : ZE = 5 : 1.
б) Найдем периметр трапеции MNPQ: P = MN + NQ + PQ + MP, где
Для вычисления сторон MP = NQ, найдем высоту
Длину отрезка NQ найдем из прямоугольного треугольника NHQ (смотри рисунок).)Катет NH = KZ = 1, а катет HQ равен
Получаем значение периметра
Ответ: 