РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д12 C3 № 512671 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 141

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Неравенства смешанного типа

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.3 Показательные неравенства

Сложные неравенства. Неравенства различных типов

Решите неравенство $логарифм по основанию x левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 4 в степени x минус 6 правая круглая скобка правая круглая скобка \leqslant1.$

Решение. Решение 1.

Найдем ограничения на x:

$система выражений новая строка x больше 0 , новая строка x не равно 1 , новая строка \log _2 левая круглая скобка 4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка больше 0 конец системы . равносильно система выражений новая строка x больше 0 , новая строка x не равно 1 , новая строка 4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 6 больше 1 конец системы . равносильно система выражений новая строка x больше 0 , новая строка x не равно 1 , новая строка 4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка больше 7 конец системы . равносильно система выражений новая строка x больше 0 , новая строка x не равно 1 , новая строка 4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка больше 4 в степени левая круглая скобка \log правая круглая скобка _47 конец системы . равносильно x больше \log _47.$ $система выражений новая строка x больше 0 , новая строка x не равно 1 , новая строка \log _2 левая круглая скобка 4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка больше 0 конец системы . равносильно система выражений новая строка x больше 0 , новая строка x не равно 1 , новая строка 4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 6 больше 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка x больше 0 , новая строка x не равно 1 , новая строка 4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка больше 7 конец системы . равносильно система выражений новая строка x больше 0 , новая строка x не равно 1 , новая строка 4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка больше 4 в степени левая круглая скобка \log правая круглая скобка _47 конец системы . равносильно x больше \log _47.$

Таким образом, в дальнейшем мы будем рассматривать заданное неравенство только на множестве $M= левая круглая скобка \log _47; плюс бесконечность правая круглая скобка .$ Так как $\log _47 больше 1,$ то:

$\log _x левая круглая скобка \log _2 левая круглая скобка 4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно \log _2 левая круглая скобка 4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка меньше или равно x равносильно \log _2 левая круглая скобка 4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка меньше или равно \log _22 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка равносильно 4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 6 меньше или равно 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка равносильно$ $\log _x левая круглая скобка \log _2 левая круглая скобка 4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно \log _2 левая круглая скобка 4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка меньше или равно x равносильно$
$равносильно \log _2 левая круглая скобка 4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка меньше или равно \log _22 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка равносильно 4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 6 меньше или равно 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка равносильно$

$равносильно 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 6 меньше или равно 0 равносильно минус 2 меньше или равно 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше или равно 3 равносильно 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше или равно 2 в степени левая круглая скобка \log правая круглая скобка _23 равносильно x меньше или равно \log _23.$

Ясно, что $\log _47 больше 1,$ но убедимся, что $\log _47 меньше \log _23.$

$\log _47 меньше \log _23 равносильно \log _47 меньше \log _49 равносильно 7 меньше 9$

(неравенство очевидное).

Таким образом, искомыми значениями х являются элементы множества $левая круглая скобка \log _47;\log _23 правая квадратная скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка \log _47;\log _23 правая квадратная скобка .$

Решение 2.

Очевидно x > 1, иначе внутренний логарифм не определен. Тогда

$0 меньше логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 4 в степени x минус 6 правая круглая скобка меньше или равно x,$ $1 меньше 4 в степени x минус 6\leqslant2 в степени x$

$левая фигурная скобка \beginaligned 7 меньше 4 в степени x , новая строка 4 в степени x минус 2 в степени x минус 6\leqslant0 \endaligned.$

$левая фигурная скобка \beginaligned логарифм по основанию 4 7 меньше x, новая строка левая круглая скобка 2 в степени x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени x плюс 2 правая круглая скобка \leqslant0 \endaligned.$

$логарифм по основанию 4 7 меньше x меньше или равно логарифм по основанию 2 3$ (все корректно, так как $логарифм по основанию 2 3= логарифм по основанию 4 9 больше логарифм по основанию 4 7$ ).

Ответ: $логарифм по основанию 4 7 меньше x меньше или равно логарифм по основанию 2 3.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

Ответ: $левая круглая скобка \log _47;\log _23 правая квадратная скобка .$ $логарифм по основанию 4 7 меньше x меньше или равно логарифм по основанию 2 3.$

512671

$левая круглая скобка \log _47;\log _23 правая квадратная скобка .$ $логарифм по основанию 4 7 меньше x меньше или равно логарифм по основанию 2 3.$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 141

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Неравенства смешанного типа

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.3 Показательные неравенства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	512671	$левая круглая скобка \log _47;\log _23 правая квадратная скобка .$ $логарифм по основанию 4 7 меньше x меньше или равно логарифм по основанию 2 3.$