PDF-версии: 
Из точки M, взятой на окружности с центром в точке О, на диаметры AB и СD опущены перпендикуляры MK и MP соответственно.
а) Докажите, что существует точка, одинаково удалённая от точек M, О, P, K.
б) Найдите площадь треугольника MKP, если известно, что ∠MKP = 30°, ∠AOC = 15°, а радиус окружности равен 4.
Решение. а) По условию задачи ∠MPO = ∠MKO = 90°. А это значит, что прямоугольные треугольники MPO и MKO имеют общую гипотенузу MO, что в свою очередь означает: точки M, O, P, K принадлежат окружности с центром в середине отрезка MO и радиусом, равным половине длины отрезка MO. Обозначим ее (окружность) ω.
Из сказанного немедленно следует, что существует точка, равноудаленная от точек M, O, P, K, которая является центром окружности ω.
б) ∠MOP = ∠MKP как два вписанных угла, опирающиеся на дугу CmM. Следовательно, ∠MKP = 30°. Но в ΔMPO, где 
В прямоугольном ΔOKM:
В четырехугольнике MOPK, вписанном в окружность ω, по теореме Птолемея имеем: 
то есть
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |