РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 18 № 512653 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 139

Классификатор алгебры: Функции, зависящие от параметра

Методы алгебры: Группировка, Использование косвенных методов, Использование симметрий, оценок, монотонности

Задача с параметром. Функции, зависящие от параметра

График функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в кубе плюс ax в квадрате плюс bx плюс c,c меньше 0,$ пересекает ось ординат в точке А и имеет ровно две общие точки M и N с осью абсцисс. Прямая, касающаяся этого графика в точке  M, проходит через точку  А. Найдите а, b и с, если площадь треугольника AMN равна 1.

Решение. Пусть точки x₁ и x₂  — абсциссы точек N и M соответственно (см. рис.)

Очевидно, что выполняются равенства: $x_1 в кубе плюс ax_1 в квадрате плюс bx_1 плюс c=0,$ $x_2 в кубе плюс ax_2 в квадрате плюс bx_2 плюс c=0.$

Из последнего равенства: $c= минус x_2 в кубе минус ax_2 в квадрате минус bx_2. левая круглая скобка * правая круглая скобка$

Так как график функции f(x) имеет ровно две общие точки с осью абсцисс, то либо x₁, либо x₂ будет корнем кратности 2. Корень x₂ таковым быть не может, ибо в противном случает касательная к графику функции f(x) в точке M была бы параллельной оси Ох или совпасть с ней, что исключает прохождение этой касательной через точку А. Следовательно, корнем кратности 2 является корень x₁.

Значит, $x в кубе плюс ax в квадрате плюс bx плюс c= левая круглая скобка x минус x_1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x минус x_2 правая круглая скобка .$ Но тогда:

$f левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка x минус x_1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x минус x_2 правая круглая скобка = левая круглая скобка x в квадрате минус 2x_1x плюс x_1 в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка x минус x_2 правая круглая скобка =x в кубе минус 2x_1x в квадрате плюс x_1 в квадрате x минус x_2x в квадрате плюс 2x_1x_2x минус x_1 в квадрате x_2 =$ $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка x минус x_1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x минус x_2 правая круглая скобка = левая круглая скобка x в квадрате минус 2x_1x плюс x_1 в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка x минус x_2 правая круглая скобка =$
$=x в кубе минус 2x_1x в квадрате плюс x_1 в квадрате x минус x_2x в квадрате плюс 2x_1x_2x минус x_1 в квадрате x_2 =$ $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка x минус x_1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x минус x_2 правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка x в квадрате минус 2x_1x плюс x_1 в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка x минус x_2 правая круглая скобка =$
$=x в кубе минус 2x_1x в квадрате плюс x_1 в квадрате x минус x_2x в квадрате плюс 2x_1x_2x минус x_1 в квадрате x_2 =$

$=x в кубе плюс левая круглая скобка минус 2x_1 минус x_2 правая круглая скобка x в квадрате плюс левая круглая скобка x_1 в квадрате плюс 2x_1x_2 правая круглая скобка x минус x_1 в квадрате x_2.$

$a= минус 2x_1 минус x_2;b=x_1 в квадрате плюс 2x_1x_2;c= минус x_1 в квадрате x_2.$

Теперь составим уравнение касательной к графику функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в кубе плюс ax в квадрате плюс bx плюс c,c меньше 0,$ в точке (x₂; 0). Это уравнение имеет вид: $y=y_M плюс f' левая круглая скобка x_2 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус x_2 правая круглая скобка$ или $y=f' левая круглая скобка x_2 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус x_2 правая круглая скобка ,$ где $f' левая круглая скобка x_2 правая круглая скобка =3x_2 в квадрате плюс 2ax_2 плюс b.$

Итак, уравнение касательной: $y= левая круглая скобка 3x_2 в квадрате плюс 2ax_2 плюс b правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус x_2 правая круглая скобка .$

По условию задачи известно, что та же касательная проходит через точку A(0; c). Значит, координаты точки А удовлетворяют полученному уравнению. Тогда имеем:

$левая круглая скобка 3x_2 в квадрате плюс 2ax_2 плюс b правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка минус x_2 правая круглая скобка =c равносильно минус 3x_2 в кубе минус 2ax_2 в квадрате минус bx_2=c$

Но в соответствии с равенством (*) получим:

$минус 3x_2 в кубе минус 2ax_2 в квадрате минус bx_2= минус x_2 в кубе минус ax_2 в квадрате минус bx_2 равносильно минус 2x_2 в кубе =ax_2 в квадрате .$

x₂ ≠ 0, поэтому a  =  −2x₂.

Это  — с одной стороны. С другой стороны, как было показано выше: a  =  −2x₁ − x₂, следовательно,

$минус 2x_1 минус x_2= минус 2x_2 равносильно x_2=2x_1 левая круглая скобка ** правая круглая скобка$

Теперь используем ранее полученные равенства: $b=x_1 в квадрате плюс 2x_1x_2$ и $c= минус x_1 в квадрате x_2.$ $b=x_1 в квадрате плюс 4x_1 в квадрате =5x_1 в квадрате ;$ $c= минус x_1 в квадрате умножить на 2x_1= минус 2x_1 в кубе .$

S(AMN)  =  1, поэтому

Из последнего равенства ясно, что x₁ > 0. Если это так, то $2x_1 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка =2 равносильно x_1=1.$ Но тогда

$b=5x_1 в квадрате =5;c= минус 2x_1 в кубе = минус 2; x_2=2x_1=2;a= минус 2x_2= минус 2 умножить на 2= минус 4.$

Ответ: a  =  −4, b  =  5, c  =  −2.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	2
Решение содержит: −  или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; −  или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: a  =  −4, b  =  5, c  =  −2.

512653

a  =  −4, b  =  5, c  =  −2.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 139

Классификатор алгебры: Функции, зависящие от параметра

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	512653	a  =  −4, b  =  5, c  =  −2.