PDF-версии: 
Используя каждую из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 по одному разу, составьте такие два пятизначных числа, чтобы
а) их разность была наибольшей;
б) их разность была по модулю наименьшей;
в) их произведение было наибольшим.
Решение. а) Для того чтобы разность была наибольшей, необходимо, чтобы одно из чисел было максимально возможным, а другое - минимально возможным. Это числа 98765 и 10234.
б) Попробуем в качестве разности пятизначных получить трёхзначное число.
Чтобы при вычитании два старших разряда превратились в ноль, надо:
--- на первое место поместить две цифры, отличающиеся на единицу;
--- на второе место уменьшаемого поставить ноль, вычитаемого 9;
Чтобы получившееся трёхзначное число было минимальным из возможных:
--- на третье место поставим цифры 1 и 8, т. к. 11 - 8 = 3 (минимум)
--- на четвёртое место поставим цифры 2 и 7, 12 - 7 = 5
--- на пятое место поставим цифры 3 и 6, 13 - 6 = 7
Оставшиеся цифры 5 и 4 разместим в качестве главных разрядов. Итог таков:
50123 и 49876.
в) Обозначим числа как 
и 
Очевидно, что в каждом из них цифры идут в порядке убывания. Иначе, если в каком-то числе это не так, то в нем можно две цифры поменять местами так, что новое число будет больше, а значит, и произведение увеличится.
Пусть на 
-ой справа позиции в стоит цифра a, в 
цифра c , на n-ой позиции, соответственно, b и d . Если 
(или 
) , то произведение не максимально.
Действительно, если 
то поменяв местами 
и b , получим числа 
и 
Произведение при этом увеличится: 
Значит, если произведение максимально, то:
1) в каждом из двух чисел цифры идут в порядке убывания слева направо;
2) в каждом разряде цифры у этих двух чисел отличаются на 1.
Стало быть, на первом месте у этих чисел стоят 8 и 9, на втором – 7 и 6 и т. д. Пусть у на первом месте 9. Независимо от того, в каком из чисел стоит каждая цифра из пары, сумма чисел остаётся одной и той же, равной 
.
Тогда 
и произведение максимально, если 
минимально. Так как 
а 
то максимальное значение 
достигается при 
Ответ: а) 98765 и 10234; б) 50123 и 49876; в) 96420 и 87531.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: — пример в п. а; — обоснованное решение п. б; — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1); — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |