PDF-версии: 
i
Равносторонний треугольник ABC и три одинаковые окружности расположены таким образом, что каждая окружность касается двух сторон треугольника и двух других окружностей.
а) Докажите, что точки попарного касания окружностей являются вершинами равностороннего треугольника.
б) Найдите радиус окружностей, если известно, что AB = 4.
точки касания окружностей: 
общую точку AC и окр. 
Q, проекцию точки P на AC — 
Соединим центры окружностей отрезками. Пусть радиус окружностей равен 
Он равносторонний, поскольку каждая его сторона равна 
Стороны треугольника MNP являются средними линиями треугольника 
следовательно, каждая его сторона будет равна r, что и требовалось доказать. 
Следовательно, 
а это значит, что 
