РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д12 C3 № 512446 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 135

Классификатор алгебры: Иррациональные неравенства, Неравенства с модулями, Неравенства смешанного типа, Неравенства, рациональные относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Сложные неравенства. Неравенства различных типов

Решите неравенство $дробь: числитель: \left| логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка в квадрате x минус 2\log _2x минус 6 | минус \left| логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка в квадрате x минус 6 |, знаменатель: корень из: начало аргумента: 6 минус \log конец аргумента _2x минус логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка в квадрате x конец дроби больше или равно 0.$

Решение. Замена переменной: пусть $\log _2x=t,$ тогда: $дробь: числитель: \left| t в квадрате минус 2t минус 6 | минус \left| t в квадрате минус 6 |, знаменатель: корень из: начало аргумента: 6 минус t минус t конец аргумента в квадрате конец дроби больше или равно 0.$

Найдем ограничения на t.

$6 минус t минус t в квадрате больше 0 равносильно t в квадрате плюс t минус 6 меньше 0 равносильно минус 3 меньше t меньше 2.$

В дальнейшем неравенство $дробь: числитель: \left| t в квадрате минус 2t минус 6 | минус \left| t в квадрате минус 6 |, знаменатель: корень из: начало аргумента: 6 минус t минус t конец аргумента в квадрате конец дроби больше или равно 0$ будем рассматривать только на множестве $M= левая круглая скобка минус 3;2 правая круглая скобка .$

На M:

$равносильно левая круглая скобка t в квадрате минус 2t минус 6 минус t в квадрате плюс 6 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка t в квадрате минус 2t минус 6 плюс t в квадрате минус 6 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно минус 2t левая круглая скобка 2t в квадрате минус 2t минус 12 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно t левая круглая скобка t в квадрате минус t минус 6 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$ $равносильно левая круглая скобка t в квадрате минус 2t минус 6 минус t в квадрате плюс 6 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка t в квадрате минус 2t минус 6 плюс t в квадрате минус 6 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно$
$равносильно минус 2t левая круглая скобка 2t в квадрате минус 2t минус 12 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно t левая круглая скобка t в квадрате минус t минус 6 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно t левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка меньше или равно 0.$

Полученное неравенство решим методом интервалов.

Введем функцию $f левая круглая скобка t правая круглая скобка =t левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка .$ Найдем ее знаки на промежутках: (−3; −2), (−2; 0) и (0; 2).

$f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =1 умножить на левая круглая скобка 1 минус 3 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 1 плюс 2 правая круглая скобка меньше 0.$

Далее будет чередование знаков.

Интервалы	$левая круглая скобка минус 3; минус 2 правая круглая скобка$	$левая круглая скобка минус 2;0 правая круглая скобка$	$левая круглая скобка 0;2 правая круглая скобка$
Знак выражения	−	+	−

Таким образом, $минус 3 меньше t меньше или равно минус 2,0 меньше или равно t меньше 2.$

Перейдем к переменной x.

$минус 3 меньше \log _2x меньше или равно минус 2 равносильно \log _2 дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби меньше \log _2x меньше или равно \log _2 дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби меньше x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$

$0 меньше или равно \log _2x меньше 2 равносильно \log _21 меньше или равно \log _2x меньше \log _24 равносильно 1 меньше или равно x меньше 4.$

Ответ: $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 1;4 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

512446

$левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 1;4 правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 135

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	512446	$левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 1;4 правая круглая скобка .$